TN1 - Introduzione alla teoria dei numeri

A.A. 2004/2005 - II Semestre - Crediti 6,5.

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Informazioni Generali

Docenti Elena Colazingari Francesco Pappalardi
Ricevimento TBA Mercoledì e Giovedì 16-17
Studio209 209
Telefono 06 54888243 06 54888243
E-mailelena at mat.uniroma3.it pappa at mat.uniroma3.it
TUTORE Andrea Cova
Lezioni:
Lunedì 16-18 (Aula 009 - TUTORARO)
Mercoledì 14-16 (Aula F)
Giovedì 14-16 (Aula 009)
Venerdì 11-13 (Aula F - settimane alterne)
DESCRIZIONE DEL CORSO

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Avvisi:

  • La prima lezione di esercitazione si è tenuta venerdì 4 Marzo
  • La prima lezione di tutorato si è tenuta lunedì 7 Marzo
  • Il compito di metà semestre si è tenuto venerdì 15 Aprile alle ore 14.
  • La lezione di venerdì 29 Aprile è stata annullata. E' recuperata la prossima settimana venerdì 6 Maggio.
  • Il calendario degli esami è stato pubblicato.
  • L'esame finale si terrà il 1 Giugno alle 14:00 in Aula F
  • IMPORTANTE: La lezione del 25 Maggio alle 14:00 è annullata perchè nello stesso orario ci sono le lauree.
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    Esoneri/Esami:


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    Diario delle Lezioni:

    1. Mercoledì 23 Febbraio:
      (a) Informazioni generali sul corso, notazioni e proprietà fondamentali delle congruenze.
      (b) ancora proprietà delle congruenze, criteri per la divisibilità sulle cifre, criterio di divisibilità di Pascal.
    2. Giovedì 24 Febbraio:
      (a) Generalità sulle equazione diofantee, congruenze polinomiali associate, esempi, congruenze lineari.
      (b) Ancora sulle congruenze lineari, Equazioni diofantee lineari a due incognite, esempi, sistemi ridotti di residui, l'indicatore di Eulero.
    3. Mercoledì 2 Marzo:
      (a) Equazioni diofantee lineari in più variabili, soluzione ricorsiva delle equazioni diofantee lineari, formula risolutiva per le equazioni lineari diofantee in 3 variabili.
      (b) Il piccolo Teorema di Fermat, pseudo primi e numeri di Carmichael, Teorema di Eulero.
    4. Giovedì 3 Marzo:
      (a) dimostrazione della formula per la soluzione di equazioni diofantee lineari in 3 variabili, applicazioni del Teorema di Eulero, formula esplicita di soluzione delle congruenze lineari, il Teorema di Wilson e sue applicazioni.
      (b) Il Teorema Cinese dei Resti (forma ristretta e forma generale), Esempi, radice quadrata di -1 modulo p, l'algoritmo dei quadrati successivi per calcolare ab(mod n).
    5. Venerdì 4 Marzo: ESERCITAZIONI(E)
      (a) 2.1 pag 16 - 2.3 pag 16 - 2.5 pag 21
      (b) 2.7 pag 22 - 2.6 (cenni) - 3.10 pag 38
    6. Mercoledì 9 Marzo:
      (a) Generalità sulle congruenze polinomiali, riduzione al caso delle congruenze con modulo una potenza di un numero primo, derivate formali.
      (b) proprietà delle derivate formali, formula di Taylor per polinomi, enunciato del Teorema del sollevamento.
    7. Giovedì 10 Marzo:
      (a) Dimostrazione del Teorema del sollevamento, esempi.
      (b) Equivalenze di congruenze polinomiali, Teorema di Lagrange.
    8. Mercoledì 16 Marzo:
      (a) determinazione del numero di soluzioni di una congruenza modulo p, il polinomio xp-x modulo p, definizione dell'ordine di un intero modulo n
      (b) proprietà dell'ordine di un elemento, radici primitive, proprietà delle radici primitive, enunciato del Teorema di Gauss per l'esistenza delle radici primitive.
    9. Giovedì 17 Marzo:
      (a) Radici primitiva, il numero di radici primitive modulo n, il numero di elementi modulo p aventi ordine d.
      (b) L'algoritmo di Gauss per produrre una radice primitiva, esempio di applicazione dell'algoritmo di Gauss.
    10. Venerdì 18 Marzo: ESERCITAZIONI (E)
      (a) 3.11 pag. 39 - 4.1 pag 59 - 4.8 pag 60.
      (b) Determinare le soluzioni di:
      3x5+31x4+17x3+4x2+62x+9 º 0 ( mod 54) e
      x3-11x2+24x-14 º 0 ( mod 125)
    11. Mercoledì 23 Marzo:
      (a) Congruenze polinomiali del tipo Xm º a (mod p), riduzione a congruenze lineari, indici modulo numeri che ammettono radici primitive.
      (b) proprietà degli indici e dei moduli che ammettono radici primitive, letteratura sulle radici primitive (Congettura di Artin e di Gauss).
    12. Giovedì 24 Marzo:
      (a) residui qudratici e non residui quadratici.
      (b) definizione del simbolo di Legendre, criterio di Eulero per il calcolo del simbolo di Legendre.
    13. Mercoledì 30 Marzo:
      (a) soluzione del compito di metà semestre dell'AA 2003/04 (Problemi 1-8)
      (b) proprietà e esempi sui simboli di Legendre.
    14. Giovedì 31 Marzo:
      (a) Lemma di Gauss, applicazione al calcolo dei simboli di Legendre.
      (b) soluzione del compito di metà semestre dell'AA 2003/04 (Problemi 9-12)
    15. Mercoledì 6 Aprile:
      (a) Dimostrazione della reciprocità quadratica, esempi, formula per (5/p).
      (b) Esercizi: 6.12, 6.5, 6.14, 6.19(1).
    16. Giovedì 7 Aprile: SOLUZIONE ESERCIZI
      (a) 5.1, 5.2, 6.4,
      (b) 6.17(a), esercizi vari tratti dagli esoneri.
    17. Venerdì 8 Aprile: ESERCITAZIONE ANNULLATA
    18. Mercoledì 20 Aprile:
      (a) Ultime questioni sulle congruenze quadratiche, numero di soluzioni modulo potenze di 2 e potenze di primi dispari, numero di soluzioni delle congruenze quadratiche con modulo generale.
      (b) La nozione di funzione aritmetica, funzioni aritmetiche moltiplicative, esempi delle funzioni aritmetiche classiche, j di Eulero , t (il numero di divisori), s (somma di divisori), sk (somma delle k-sime potenze dei divisori), e (immersione), ek, u e c (costante), numeri perfetti (esempi - numeri perfetti pari).
    19. Giovedì 21 Aprile:
      (a) Funsioni aritmetiche moltiplicative, moltiplicatività di t, l'operatore sf, esempi.
      (b) Prodotto di Dirichlet di funzioni aritmetiche, la struttura di anello unitario commutativo nell'insieme delle funzioni moltiplicative, la funzione di Moebius e la sua moltiplicatività.
    20. Mercoledì 27 Aprile:
      (a) Proprità del prodotto di convoluzione, funzioni aritmetiche invertibili rispetto alla convoluzione.
      (b) Il gruppo delle funzioni moltiplicative. La legge di inversione di Moebius. Esempi.
    21. Giovedì 28 Aprile: ESERCITAZIONI:
      (a) Esercizi sulle funzioni aritmetiche: 1.2, 1.3, 1.4, 1.6, 1.8, 1.10
      (b) 1.13, 1.15, 2.1, 2.3, 2.5, 3.2, 3.3, 3.4
    22. Mercoledì 4 Maggio: (E) (referenze tratte dal libro di Hardy e Wright)
      (a) Teorema di lagrange 1 (dei quattro quadrati): Teorema 84 pag. 69 Teorema 87 pag. 70
      (b) Teorema 369 pag 302 (Lagrange), Teorema 370 pag 302 (Lagrange per i primi) prima parte della dim.
    23. Giovedì 5 Maggio: (E) (referenze tratte dal libro di Hardy e Wright)
      (a) Fine dimostrazione Teorema 370 pag. 302. Teorema dei 3 quadrati (solo enunciato) Esempi: i) 15=3.5 non è somma di 3 quadtrati mentre 3 e 5 lo sono. ii) 47 come somma del minor numero di quadrati.
      (b) I quaternioni: ( cap. 20.6 pag 303 e seguenti): definizone, unità immaginarie,somma e prodotto di quaternioni e prime proprietà
    24. Venerdì 6 Maggio: (E) (referenze tratte dal libro di Hardy e Wright)
      (a) I quaternioni: coniugato, norma, quaternioni interi, associato, unità. Teorema 371 pag. 306 caso 1. Teorema 376 pag. 308 solo enunciato.
      (b) Teorema 378 pag. 309. Dimostrazione del Teorema di lagrange usando i qauternioni (pag. 310 all'inizio). Esempi: scrivere 247 e 308 come somma di 4 quadrati
    25. Mercoledì 11 Maggio:
      (a) Terne pitagoriche, terne pitagoriche primitive, positive e normali. Teorema di struttura per le terne pitagoriche. Esempi e applicazioni.
      (b) Cenni sull'ultimo Teorema di Fermat. Riduzione al caso Xp+Yp=Zp e X4+Y4=Z4. La congruenza X4+Y4=Z2.
    26. Giovedì 12 Maggio:
      (a) Dimostrazione che X4+Y4=Z2 non ammette soluzioni intere. La discesa di Fermat.
      (b) Esercizi: 1.1, 1.2 e 2.1. Generalità sull'equazione X2+Y2=m. Il prodotto di insiemi che si scrivono come somma di quadrati si scrive come sooma di quadrati. Enunciato del Teorema: i primi congrui a 1 modulo 4 si scrivono come somma di due quadrati.
    27. Mercoledì 18 Maggio:
      (a) dimostrazione del teorema: i primi congrui a 1 modulo 4 sono somma di due primi. Lemma di Thue. Teorema di Eulero: I primi congrui a 1 modulo 4 si scrivono in modo unico come somma di due quadrati.
      (b) Dimostrazione del Teorema. Caratterizzazione dei numeri interi che si scrivono come somma di due quadrati. Esempi.
    28. Giovedì 19 Maggio:
      (a) Altre proprietà dei numeri che si scrivono come somma di due quadrati. Esercizi 3.1, 3.2 e 3.4.
      (b) Gli interi della forma 4s(8k+7) non si scrivono come somma di tre quadrati. Il problema di Waring e la funzione g(s). Proprietà di g(s). Esempi.
    29. Venerdì 20 Maggio: ESERCITAZIONI: (E)
      (a)
      1) scrivere come somma di 2 quadrati i numeri:
      8330, 1611090, 3036285, 12182625, 5s13t per s e t in N.
      2) scrivere 127 come somma del minor numero di quadrati
      (b)
      3) dimostrare che se r intero positivo, n=a2 con a=(32+1)(42+1)..((r+2)2+1),
      allora n è somma di 2 quadrati in almeno r modi diversi.
      4) elencare tutte le terne pitagoriche primitive positive (x,y,z) con x,y,z <85.
    30. Mercoledì 25 Maggio: LEZIONE ANNULLATA causa lauree
    31. Giovedì 26 Maggio: ESERCITAZIONI:
      (a) Esercizi vari degli esoneri/esami degli anni passati
      (b) Esercizi vari degli esoneri/esami degli anni passati
    32. Venerdì 27 Maggio: ESERCITAZIONI: (E)
      (a) Esercizi vari degli esoneri/esami degli anni passati
      (b) Esercizi vari degli esoneri/esami degli anni passati
    33. Mercoledì 1 Giugno: ESAME FINALE

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    TUTORATO:

    1. Esercizi proposti dal tutore il 7 Marzo 2005
    2. Esercizi proposti dal tutore il 14 Marzo 2005
    3. Esercizi proposti dal tutore il 21 Marzo 2005
    4. Esercizi proposti dal tutore il 4 Aprile 2005
    5. Esercizi proposti dal tutore il 2 Maggio 2005
    6. Esercizi proposti dal tutore il 9 Maggio 2005
    7. Esercizi proposti dal tutore il 16 Maggio 2005
    8. Esercizi proposti dal tutore il 23 Maggio 2005

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    Testi consigliati:


  • Note di Teoria dei Numeri di Marco Fontana
    Capitolo 0
    Capitolo 1
    Capitolo 2
    Capitolo 3
  • Hardy, G. H.; Wright, E. M. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979. xvi+426 pp. ISBN: 0-19-853170-2; 0-19-853171-0
  • Davenport, H. Aritmetica superiore. Un'introduzione alla teoria dei numeri. Editore: Zanichelli, 1994. 199 pp. ISBN: 8808091546
  • Gioia, A. A. The theory of numbers. An introduction. Reprint of the 1970 original. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2001. xii+207 pp. ISBN: 0-486-41449-3
  • Rosen, K. H. Elementary number theory and its applications. Fourth edition. Addison-Wesley, Reading, MA, 2000. xviii+638 pp. ISBN: 0-201-87073-8
  • Tattersall, J. J. Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, Cambridge, 1999. viii+407 pp. ISBN: 0-521-58531-7
  • Altre Dispense Online Online number theory lecture notes (Number Theory Web)