1. Si costruisca un polinomio f di grado 4 irriducibile su F_{2}. Si indichi con α una radice di f e con F_{2}[α] il campo di spezzamento di f.

(a) Si calcolino tutte le radici primitive di F_{2}[α].

(b) Si calcoli il logaritmo discreto di α^{3} + α in base α^{2} + 1.

(c) Quanti elementi può avere il campo di spezzamento di un generico polinomio di grado 4 su F_{2}?

2. Sia F_{3} il campo finito con 3 elementi.

(a) Determiare tutti i polinomi irriducibili di grado 3 su F_{3}.

(b) Determinare tutti i polinomi primitivi di grado 3 su F_{3}

(c) Si scelga un polinomio irriducibile f(x) non primitivo del punto (a) e sia α una sua radice primitiva. Determinare tutte le radici primitive di F_{3}(α).

3. Si costruisca un polinomio di grado 3 irriducibile su F_{7}.

(a) Si illustri il metodo per calcolare tutti i polinomi di grado tre irriducibili su F_{7}.

(b) Si dica quanti sono i polinomi primitivi su F_{7} spiegando la ragione della risposta.

(c) Quanti elementi può avere il campo di spezzamento di un generico polinomio di grado 3 su F_{7}?

4. Si costruisca un polinomio f di grado 4 irriducibile su F_{2}. Si indichi con α una radice di f e con F_{2}[α] il campo di spezzamento di f.

(a) Si calcolino tutte le radici primitive di F_{2}[α].

(b) Si calcoli il logaritmo discreto di α^{3} + α in base α^{2} + 1.

(c) Quanti elementi può avere il campo di spezzamento di un generico polinomio di grado 4 su F_{2}?