Università degli studi di Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a. 1999/2000 Matematica Applicata 2 Sesto test

CERCARE DI RISOLVERE IL MASSIMO NUMERO DEI SEGUENTI PROBLEMI

1. Fattorizzare il polinomio x^{6} + x^{5} + x^{2} + 1 su 𝔽_{3} usando l’algoritmo di Berlekamp.

2. Si consideri il polinomio F (x) = x^{3} − x^{2} − 7x − 3∈𝔽_{17}[x].

a. Si trovi un polinomio F -riduttore di grado due usando l’algoritmo di Berlekamp.

b. Si determinino i c∈𝔽_{17} tali che gcd(F (x), H(x) − c) ≠ 1 (dove H(X) è il polinomio F -riduttore trovato nel punto (a)) usando il metodo di Zassenhaus.

3. Si determini, usando l’algoritmo di Berlekamp, il numero dei irriducibili di x^{4} + 1 su 𝔽_{p}, per ogni numero primo dispari p.

4. Supponiamo di lavori nel campo 𝔽_{17}.

a. Si calcoli la piu’ piccola radice primitiva di 𝔽_{17}.

b. Supponiamo che Alice e Bernardo vogliano sfruttare 𝔽_{17} a la sua piu’ piccola radice primitiva per scambiarsi una Chiave in modo sicuro. Si spieghi come possono fare usando il metodo di Diffie–Hellman e si faccia un esempio concreto scegliendo i parametri a piacere.

c. Si dia un esempio di come funziona il Crittosistema ElGamal in 𝔽_{17} scegliendo a piacere i dati.