9 Luglio 1999 - ORE 15:00 ESAME DI MATEMATICA APPLICATA 2 Alberto Berretti e Francesco Pappalardi

1. Sia f(x) = sin(x).

(a) Si stimi il tempo necessario per calcolare il valore del polinomio di Taylor di grado 3 intorno a 0 in un valore intero x = n.

(b) Si stimi il tempo necessario per calcolare il valore del polinomio di Taylor di grado k intorno a 0 in un valore intero x = n.

2. Si determini un numero intero positivo x nell’ intervallo [60, 120] tale che

x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 4 (mod 5)
x ≡ 2 (mod 4)

3. (SIMULAZIONE DI RSA). Sia p = 29, q = 31, n = pq. Assumiamo che la chiave (pubblica) di codifica sia e = 13.

(a) Calcolare la chiave (segreta) di decodifica d.

(b) Crittografare la parola ”ciao”. (Usare 4 messaggi).

(c) Dire se è possibile scegliere e = 5 come chiave pubblica

4. Sia F_{3} il campo finito con 3 elementi.

(a) Determiare tutti i polinomi irriducibili di grado 3 su F_{3}.

(b) Determinare tutti i polinomi primitivi di grado 3 su F_{3}

(c) Si scelga un polinomio irriducibile f(x) non primitivo del punto (a) e sia α una sua radice primitiva. Determinare tutte le radici primitive di F_{3}(α).

N.B. È consentito l’uso di una calcolatrice non scientifica. Tempo concesso 120 minuti.