26 Luglio 1999 - ORE 15:30 ESAME DI MATEMATICA APPLICATA 2 Alberto Berretti e Francesco Pappalardi

1. Si dia una stima per il numero di operazioni bit necessarie al calcolo della parte intera della norma di un vettore di R^{n} assumendo che tutte le coordinate sono minori di 1000000.

2. Calcolare la parte intera di \sqrt{10110101011} utilizzando l’algoritmo delle approssimazioni successive. (si tratta di un numero binario.)

3. Dimostrare che n^{7} − n è sempre divisibile per 42.

4. Sia q = 37 e p = 41.

(a) Utilizzare n = pq per spedire il messaggio “MAI” utilizzando RSA. Fare le cose in modo che sia necessario spedire il numero minimo di trasmissioni. (Scegliere a caso il valore di e)

(b) decodificare il messaggio “NO” utilizzando le notazioni precedenti e sapendo che il messaggio è stato ottenuto utilizzando una sola trasmissione.

5. Si costruisca un polinomio di grado 3 irriducibile su F_{7}.

(a) Si illustri il metodo per calcolare tutti i polinomi di grado tre irriducibili su F_{7}.

(b) Si dica quanti sono i polinomi primitivi su F_{7} spiegando la ragione della risposta.

(c) Quanti elementi può avere il campo di spezzamento di un generico polinomio di grado 3 su F_{7}?

N.B. È consentito l’uso di una calcolatrice non scientifica. Tempo concesso 120 minuti.