1 Settembre 1999 – ORE 15:30 ESAME DI MATEMATICA APPLICATA 2 Alberto Berretti e Francesco Pappalardi

1. Si dia una stima per il numero di operazioni bit necessarie al calcolo del determinante di una matrice 3 × 3 a coefficienti interi in cui gli elementi della prima colonna sono in valore assoluto minori di M, quelli della seconda colonna sono in valore assoluto minori di N e quelli della terza sono in valore assoluto minori di L.

2. Calcolare la parte intera di \sqrt{1101010001101} utilizzando l’algoritmo delle approssimazioni successive. (si tratta di un numero binario.)

3. (10 punti) Si determini un numero intero y nell’ intervallo [−80, 0] tale

che

y ≡ 2 (mod 3)
y ≡ 2 (mod 7)
y ≡ 4 (mod 11)

4. Supponiamo si voler utilizzare RSA per spedire il messaggio P ERA utilizzando un alfabeto di 22 lettere (compreso lo spazio).

(a) Scegliere due numeri primi p e q in modo che sia possibile spedire il messaggio utilizzando un’unica trasmissione.

(b) Dopo aver calcolato n = p · q e φ(n), si scelga come esponente di codifica e = 2 e si codifichi il messaggio.

(c) Si scriva il messaggio crittografato in termini dell’ alfabeto.

5. Si costruisca un polinomio f di grado 4 irriducibile su F_{2}. Si indichi con α una radice di f e con F_{2}[α] il campo di spezzamento di f.

(a) Si calcolino tutte le radici primitive di F_{2}[α].

(b) Si calcoli il logaritmo discreto di α^{3} + α in base α^{2} + 1.

(c) Quanti elementi può avere il campo di spezzamento di un generico polinomio di grado 4 su F_{2}?

N.B. È consentito l’uso di una calcolatrice non scientifica. Tempo concesso 120 minuti.