(2) Se m = 3 (mod 4), allora (m − 1)/2 é dispari. Dunque, é sufficiente vedere che a^{(m−1)/2} = ±1 (mod m), il che é ovvio dalla definizione di pseudo-primo di Eulero.

(3) Applicando il teorema di Pocklington-Lucas si ottiene immediatamente la conclusione. Un altra possibilitá é quella di ragionare sulla cardinalitá sul gruppo delle unitá di ℤ/(2q + 1)ℤ (in questo modo non ńecessario utilizzare una delle ipotesi).

(4) i. Le soluzioni sono quattro, ovvero 8, 18, 47, 57 (o anche ±8, ±18), per il teorema cinese del resto. ii. Dato che 65 − 1 é una potenza di 2, 65 é pseudo-primo forte in ciascuna delle quattro basi trovate al punto i. Tuttavia, se prendiamo come a_{1} e a_{2} due di queste quattro basi (evitando di usare 8 e −8 oppure 18 e −18 !), il prodotto a_{1} · a_{2} non é pseudo-primo forte. iii. Oltre a quelle banali 1 e −1, quelle trovate al punto i. sono le uniche basi rispetto alle quali 65 é pseudo-primo forte. Infatti 65 − 1 é potenza di 2, se avessimo una ulteriore base siffatta, allora, dopo aver effettuato un certo numero di elevamenti al quadrato successivi a partire da tale base, dovremmo imbatterci in uno dei quattro numeri sopra trovati, che sono gli unici il cui quadrato é −1 (mod 65). Ma nessuno di quei quattro numeri é un quadrato, quindi non vi sono altre basi rispetto alle quali 65 é uno pseudo-primo forte. Pertanto |S(65) = 6|. Inoltre, osserviamo che, per la parte ii., S(65) non é un gruppo.

(5) quickies i. Vedere le definizioni.

ii. Se cerchiamo due fattori non banali non troppo distanti, possiamo prendere in considerazione numeri del tipo 10^{5} + x e 10^{5} + y, dato che il numero dato é compreso tra 10^{10} e 2·10^{10}. Eseguendo i prodotti si trova che xy = 57 e che x+y = 22. Pertanto due fattori non banali sono 100019 e 100003. iii. Si puó ragionare come in ii., con la differenza che il secondo fattore deve essere del tipo 3 · 10^{5} + y, quindi xy = 21 e 3x + y = 16. I due fattori che si trovano in questo modo sono 100003 e 300007.

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