MATEMATICA APPLICATA 2  TEST 8/8  Roma, 21 Dicembre 2000.

COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATRICOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Risolvere gli esercizi accompagnando le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Inserire le risposte negli spazi predisposti. NON SI ACCETTANO RISPOSTE SCRITTE SU ALTRI FOGLI. Ogni esercizio vale 7.5 punti.

1. Alice vuole spedire a Bernardo il messaggio SI usando l’algoritmo ElGamal con il campo F_{64}. Scelgono il polinomio primitivo g(x) = x^{6} + x + 1 ∈ F_{2}[x] e realizzano il crittosistema lavorando con F_{2}[α], α^{6} = α + 1.

i. Scegliere le chiavi pubbliche per Alice e Bernardo e calcolare le chiavi private.

ii. Crittare il messaggio SI usando due pacchetti spiegando come associare alle lettere elementi di F[α].

iii. Scrivere la formula per la decifratura. . Suggerimento: scegliere le chiavi private in modo che i calcoli risultino semplici.

2. Si calcoli (se è possibile) il logaritmo discreto log_{3}(5) in F_{17} utilizzando l’algoritmo di Shanks.

3. Considerare l’equazionr su F_{7}:

E : y^{3} = x^{3} + 3x

Dopo aver mostrato che E è una curva ellittica, determinare tutti gli elementi di E(F_{7}) e determinarne la struttura come gruppo abeliano (cioé scrivere E(F_{7}) come prodotto di un numero opportuno di gruppi ciclici).

4. Spiegare come funziona il crittosistema di Massey–Omura.