MATEMATICA APPLICATA 2  TEST 7/8  Roma, 12 dicembre 2000 2000.

COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATRICOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Risolvere gli esercizi accompagnando le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Inserire le risposte negli spazi predisposti. NON SI ACCETTANO RISPOSTE SCRITTE SU ALTRI FOGLI. Ogni esercizio vale 7.5 punti. 1.

a. Dire quanti sono i polinomi monici irriducibili di grado 2 sul campo F_{7}. b. Dire quanti sono i polinomi primitivi di grado 2 sul campo F_{7}. c. Stabilire la probabilità che un polinomio irriducibile di grado 2 sul campo F_{7} sia primitivo. d. Scrivere un polinomio primitivo e un polinomio irriducibile ma non primitivo.

2. Supponiamo che Antognoni e Bettega vogliano scambiarsi una chiave utilizzando l’algoritmo Diffie-Hellmann sul campo F_{53}. a. Trovare il più piccolo elemento primitivo in F_{53}^{∗}. b. Usando tale elemento primitivo, scegliere gli altri parametri dell’algoritmo e determinare la corrispondente chiave

DH.

3. Fattorizzare il polinomio f(x) ∈ F_{7}[x] definito come f(x) = (x^{21} + x^{7} + 3)(x^{2} + 1). Determinare quanti elementi ha il campo di spezzamento L di f(x). Scrivere un polinomio irriducibile g(x) ∈ F_{7}[x] tale che, indicando con α una radice di g(x), si abbia L ≃ F_{7}(α).

4. Scrivere una formula che esprima, in funzione di p, il numero I_{6}(p) dei polinomi irriducibili di grado 6. Inoltre, se p è un numero primo dispari tale che p − 1 = 6l e p + 1 = 4r, con l e r due primi dispari, determinare il numero P_{2}(p) dei polinomi primitivi di grado 2 in F_{p}[x], in funzione di p.