MATEMATICA APPLICATA 2  TEST 6/8  Roma, 28 Novembre 2000.

COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATRICOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Risolvere gli esercizi accompagnando le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Inserire le risposte negli spazi predisposti. NON SI ACCETTANO RISPOSTE SCRITTE SU ALTRI FOGLI. Ogni esercizio vale 7.5 punti.

1. Fattorizzare 5^{24} − 1 giustificando attentamente tutti i calcoli.

2. Sia n = 1042387. Usare il fatto che

1021^{2} ≡ 54 mod n, 1027^{2} ≡ 12342 mod n, 1030^{2} ≡ 18513 mod n

per trovare un fattore proprio di n.

3. Dimostrare che, se 2^{m} + 1 è primo, allora m = 2^{α}, ovvero è una potenza di due. Dare un esempio di α per cui 2^{2^{α}} + 1 non è primo.

4. Mostrare che un polinomio di grado tre a coefficienti in un campo è irriducibile se e solo se non ha radici nel campo.

3. (Quickies): Scrivere solo la risposta delle seguenti domande:

i. Quali tra i seguenti valori sono fattori di 50000^{111} − 50000 ?

500, 541, 1111, 49999, 9, 5^{5}.

ii. Quale è un valore di B per cui il metodo p − 1 con parametro B fattorizza 47053?

i.