MATEMATICA APPLICATA 2  TEST 3/8  Roma, 31 Ottobre 2000.

COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATRICOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Risolvere gli esercizi accompagnando le risposte con spiegazioni chiare ed essenziali. Inserire le risposte negli spazi predisposti. NON SI ACCETTANO RISPOSTE SCRITTE SU ALTRI FOGLI. Ogni esercizio vale 7.5 punti.

1. Mostrare che 825265 = 5 · 7 · 17 · 19 · 73 è un numero di Carmichael.

2. Si calcoli il seguente simbolo di Jacobi (senza fattorizzare!) (\frac{32431}{12331})

3. Sia m in intero positivo disparie composto. Sia

C(m) = {a ∈ U(Z/mZ) | m e′ uno pseudo primo in base a}.

a. Mostrare che C(m) è un gruppo; b. Dimostrare che se esiste una base rispetto a cui m non è uno pseudo primo allora ne esistono almeno φ(m)/2; c. Mostrare che |C(m)| ≥ 2. d. Calcolare C(15).

4. Determinare una base a rispetto a cui m non è uno pseudo primo di Eulero dove a. m = 101^{2} · 107; b. m = 3 · 35.

5. (Quickies): Scrivere solo la risposta delle seguenti domande:

i. Quale è la probabilità che 50 iterazioni di Solovay–Strasen dichiarino primo un numero composto?

ii Dire quali dei seguenti numero sono basi rispetto a cui 25 è uno pseudo primo Euleriano: 1, -1, 2, 5, 7, 10, 3

i. bigskip