ESERCIZI SULLE FUNZIONI IMPLICITE, INVERSE E ESERCIZI SULLE FUNZIONI IMPLICITE, INVERSE E FORMULA DI TAYLOR.





  1. Per ciascuna delle seguenti funzioni, si determini il polinomio di Taylor di grado k intorno al punto x0 utilizzando il polinomio di Taylor di una funzione di una variabile reale opportuna. Si verifichi anche che il resto Rk((x-x0)) = O(||x-x0||k+1).

    f(x) x0 k
    i [Ö(1+x13x2)] (0,0) 11
    ii arctan(x1x2x32) (0,0,0) 13
    iii [Ö(1+x1x2)]ln(1+[Öxy]) (0,0) 8
    iv (x13+x22)sin(x12x2) (0,0) 10
    v ex2cosy4 (0,0) 10

  2. Per ciascuna delle seguenti funzioni, si determini

    1. la matrice Jacobiana nel generico punto x;
    2. Il luogo dei punti in cui non è possibile applicare il teorema della funzione inversa;
    3. Il differenziale e lo spazio affine tangente a f-1 nel punto x0.
    4. verificare anche che J(f)x0-1 = J(f-1)f(x0).

    f(x) x0
    i f(x,y) = (
    [Ö(x2+y)]
    cosxy +x +3y
    		) (0,0)
    ii f(x,y) = (
    2x+y2exy
    ln(1+xy)
    		) (0,1)
    iii

    f(x,y,z) = (

    ex+y+z
    2y2+x+cos(zp)
    ln(1+xz)
    		) (1,1,0)
    iv

    f(x,y,z,t) = (

    t2
    x3+y
    y2+tz
    z+lnx
    		) (1,1,1,1)

  3. Per ciascuna delle seguenti funzioni di una variabile reale y = g(x), definite in modo implicito da f(x,y) = 0, dopo aver verficato che è possibile applicare il Teorema della funzione implicita, si calcoli

    1. la derivata nel punto x0;
    2. l'equazione della retta tangente nel punto (x0,g(x0));
    3. il polinomio di Taylor di grado due intorno al punto x0.

    f(x,y) (x0,g(x0))
    i x4+y4-17 (2,1)
    ii arctan(x3+y-7)+xy3+2 (2,-1)
    iii ln(1+cosh(yx2+1))+y3-ln(2x)+1 (1,-1)
    iv [Ö(x2+y3)]-Ö5exy-2 (2,1)

  4. Per ciascuna delle seguenti funzioni di due variabili reali z = g(x,y) definite in modo implicito da f(z,y,z) = 0, si calcoli (se esiste) nel punto (x0,y0):

    1. Il gradiente Ñg(x0,y0);
    2. Il differenziale dg(x0,y0);
    3. La derivata direzionale [(g)/( (v1,v2))] nel generico punto (x,y);
    4. L'equazione del piano tangente alla superficie z = f(x,y) nel punto (x0,y0,g(x0,y0)).

    f(x,y,z) (x0,y0,g(x0,y0)) (v1,v2)
    i x4+y4+z4-16 (0,0,2) (1,1)
    ii x2cosz+eyz (1,0,1) (1,2)
    iii ln(1+x2z3arctany) (2,0,1) (-1,1)
    iv cosh(x3-z2+y) (1,0,-1) (-1,-1)

  5. Per ciascuna delle seguenti funzioni da R3 a R2, si verifichi se si può applicare il Teorema della funzione implicita nel punto (x0,y0) e si calcoli la matrice Jacobiana e l'equazione dello spazio affine tangente nel punto x0 della funzione g(x) definita implicitamente da y0 = g(x0) e F(x,g(x)) = 0.

    1. f(x,y1,y2) = (xy12+y23,y22+x) (x0,y0) = (1,2,2)
    2. f(x,y1,y2) = (ln(x+y1),y1ln(x+y2)) (x0,y0) = (1,1,1)
    3. f(x,y1,y2) = (cosxy1+y2,sin(xy2)+y1) (x0,y0) = (1,0,p)
    4. f(x,y1,y3) = ([Ö(x+y1)],y1y2+x2) (x0,y0) = (1,1,1)

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On 16 Nov 1998, 14:33.