AL310 - Istituzioni di Algebra Superiore: Teoria delle equazioni

Diario delle Lezioni:

1. [25/09/17] Presentazione del corso, informazioni, equazioni di terzo grado e formula di risoluzione di Cardano, L'idea della Teoria di Galois. Generalità e Richiami su Anelli, sottoanelli, campi, omomorfismi.
2. [26/09/17] Caratteristica di un campo. Ancora generalità sui campi, sottocampi, Anelli di polinomi, Fattorizzazione dei polinomi, radici razionali dei polinomi. Algoritmo per la fattorizzazione dei polinomi. I coefficienti di un polinomio sono le funzioni simmetriche elementari nelle radici.
3. [27/10/17] Criterio di Eisenstein - irriducibilità del p-esimo polinomio ciclotomico. Esempi
4. [02/10/17] Teorema della dimensione. Esempi. Estensioni algebriche semplici (campi a gambo). Calcoli nelle estensioni algebriche semplici. Sottoanelli e sottocampi generati da sottoinsiemi.
5. [03/10/17] Elementi algebrici e trascendenti di una estensione. Polinomio minimo e sue caratterizzazioni. Estensioni algebriche e trascendenti. Un estenione è finita se e solo se è algebrica e finitamente generata. Numeri trascendenti e numeri algebrici. Problemi e fatti sui numeri trascendenti, numerabilità dei numeri algebrici. Campi algebricamente chiusi. Chiusura algebrica di un campo in un estensione.
6. [04/10/17] Un esempio di numero trascendente. Campi algebricamente chiusi e loro caratterizzazione. Chiusura algebrica di un campo in un estensione. F-Omomorfismi di campi. F-omomorfismi su estensioni semplici. (fino alla Proposizione 2.1 inclusa)
7. [09/10/17] F-Omomorfismi di campi su estensioni semplici. Proposizioni 2.1 e 2.2. Esercizi dal primo tutorato dell'AA 2016/17
8. [10/10/17] Esercizi dal primo tutorato dell'AA 2016/17
9. [16/10/17] F-Omomorfismi di campi. F-omomorfismi su estensioni semplici. Campi di spezzamento e esistenza del campo di spezzamento.
10. [17/10/17] Esempi: campi di spezzamento di polinomi di grado 2, 3 e 4 e loro possibile grado. Proprietà dei campi di spezzamento
11. [18/10/17] Radici multiple, polinomi irriducibili con radici multiple e loro proprietà. Polinomi separabili e campi perfetti. Esempi di campi imperfetti.
12. [23/10/17] Fine dei campi perfetti. Automorfismi di campi. Automorfismi del campo di spezzamento di un polinomio separabile. Esempi.
13. [24/10/17] Ancora sugli automorfismi. Il Lemma di Artin. Campo degli invarianti. Prima forma del teorema di corrispondenza di Galois. Struttura del reticolo dei sottocampi di Q[ζ_n], n < 8
14. [25/10/17] Ancori sulle estensioni di Galois. ESERCIZI
15. [30/10/17] ESERCITAZIONE
16. [31/10/17] ESERCITAZIONE
17. [10/11/17] PROVA IN ITINERE
18. [13/11/17] Correzione della prima prova in itinere
19. [14/11/17] Il Teorema fondamentale della corrispondenza di Galois. Inizio dimostrazione. Esempio: Il reticolo dei sottocampi del campo di spezzamento del polinomio X⁴-2, Il suo gruppo di Galois è diedrale, il reticolo dei sottogruppi di D₄.
20. [15/11/17] Fine dimostrazione del Teorema di corrispondenza di Galois. Esempi: il reticolo dei sottocampi di Q(ζ₇). Gruppi di Galois come sottogruppi di S_n
21. [20/11/17] Costruzioni con riga e compasso: Definizione di punti costruibili con riga e compasso. Costruzioni elementari con riga e compasso: mediana di un segmento, cerchio per tre punti, perpendicolare ad una retta data per un punto sulla retta e per un punto esterno alla retta, parallela ad una retta per un punto, circonferenza con centro un punto dato e raggio dato, bisezione di un angolo. Numeri reali costruibili: definizione e dimostrazione che l'insieme dei numeri costruibili forma un campo. La radice di un numero costruibile è costruibile.
22. [21/11/17] Caratterizzazione dei numeri costruibili in base all'estensione dei razionali che generano. Impossibilità di soluzione con riga e compasso dei problemi classici. Duplicazione del cubo, trisecazone di un angolo, quadratura del cerchio. Poligoni regolalari costruibili: se un poligono regolare con p lati, p primo, è costruibile allora p è un primo di Fermat. Se un numero reale alpha genera un estensione di Galois di grado un potenza di due allora α e' costruibile. Caratterizzazione dei poligoni regolari che sono costruibili con riga e compasso.
23. [22/11/17] Gruppi risolubili e estensioni risolubili. Enunciato del Teorema di Galois sulla risolubilità dei polinomi. La definizione di discriminante. Proprietà del discriminante. Discriminante di polinomi di grado 2 e 3.
24. [27/11/17] Gruppi di Galois dei polinomi come sottogruppi del gruppo delle permutazioni delle radici.Ancora sui gruppi di Galois come sottogruppi di S_n. Gruppi transitivi e polinomi irriducibili. Classificazione dei sottogruppi transitivi S₃, S₄ e S₅ (senza dimostrazioni). Permutazioni pari e sottocampo generato dalla radice quadrata del discriminante. Esempi.
25. [28/11/17] Polinomi di grado quattro. Risolvente cubica. Problema inverso di Galois (enunciato). Polinomi aventi gruppo di Galois isomorfo a S_p.
26. [29/11/17] Campi finiti. proprietà, esempi, enumerazione dei polinomi irriducibili, gruppo di Galois di un campo finito.
27. [04/12/17] La chiusura algebrica di un campo finito. Estensioni semplici e Teorema dell'Elemento Primitivo. Esercizi sui campi finiti dai compiti degli anni precedenti.
28. [05/12/17] Dimostrazione del Teorema fondamentale dell'algebra usando la Teoria di Galois. Dimostrazione dell'irriducibilità di tutti i polinomi ciclotomici. Risoluzioni di esercizi dagli esami degli anni passati.
29. [06/12/17] LEZIONE ANNULLATA
30. [11/12/17] SOLUZIONE DELLA PROVA IN ITINERE DELL'ANNO ACCADEMICO 2016/2017
31. [12/12/17] Periodi di Gauss e altri esercizi
32. [13/12/17] Esempio di Polinomio con gruppo di Galois Quaternionico e altri esercizi
33. [18/12/17] SECONDA PROVE IN ITINERE

Tutorato/Esercizi:

1. TUTORATO 1 23 Ottobre 2017
2. TUTORATO 2 30 Ottobre 2017
3. TUTORATO 3 03 Novembre 2017
4. TUTORATO 4 20 Novembre 2017
5. TUTORATO 5 27 Novembre 2017
6. TUTORATO 6 04 Dicembre 2017
7. TUTORATO 7 11 Dicembre 2017

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